МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

Кафедра физики

М. В. БУЙ, В. А. ЗЫКУНОВ

Ф И З И К А.

КОЛЕБАНИЯ

Одобрено методическими комиссиями

строительного и заочного факультетов в качестве учебно-методическое пособия для студентов

инженерно-технических специальностей

Гомель 2014

УДК [ 53+ 531] (075.8)

ББК 22.3

Б90

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор О. В. Холодилов

(УО «БелГУТ»);

канд. физ.-мат. наук, доцент В. В. Андреев

(УО «ГГУ им. Ф. Скорины»).

Буй, М.В.

Б90

Физика. Колебания : учеб-метод. пособие / М. В. Буй, В. А. Зыкунов;
М-во образования Респ. Беларусь, Белорус. гос. ун-т трансп. – Гомель :
БелГУТ, 2014. – 63 с.

ISBN 978-985-554-341-2

Приведены основные сведения из теории по первому разделу темы «Колебания и волны» – «Колебания» программы курса физики для инженерно-технических специальностей втузов.

Предназначено для методического обеспечения самостоятельной работы по физике студентов инженерно-технических специальностей заочной формы обучения.

УДК [53+ 531] (075.8)

ББК 22.3

ISBN 978-985-554-341-2 © М.В. Буй, В.А. Зыкунов, 2014

© Оформление. УО «БелГУТ», 2014

1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Колебания – процессы, в той или иной мере повторяющиеся с течением времени. Из определения следует, что практически любые процессы, происходящие в жизни, независимо от их природы, в какой-то степени относятся к изучаемому разделу физики, что показывает исключительную актуальность и практическую ценность рассмотрения этих вопросов в их взаимосвязи и имманентной целостности.

По своей физической природе могут быть выделены колебания:

– механические (колебания маятника, моста, лодки на волне, струны музыкального инструмента);

– электромагнитные (колебания в колебательном контуре, объёмном резонаторе, волноводе);

– электромеханические (колебания мембраны телефона, пьезокварцевого или магнитострикционного излучателя ультразвука);

– химические (колебания концентрации реагирующих веществ при периодических химических реакциях);

Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов. В частности, колебания имеют первостепенное значение в судостроении, самолётостроении, электротехнике, технике автоматического регулирования. На их использовании основана вся радиотехника и техническая акустика. Колебания встречаются также в метеорологии, химии, физиологии и в ряде других естественных наук.

Колебательная система – совокупность объектов (тел), с которыми происходят колебания. Система может быть: механическая (например, маятники), электромагнитная (колебательный контур), электромеханическая (электронные часы), социальная (смена классов и формаций) и т. п.

Положение равновесия – состояние колебательной системы, в котором она может находиться сколь угодно долго без внешних воздействий. Примеры: вертикально висящий маятник, контур с нулевыми зарядами и токами, часы без батарейки и т. п.

Число степеней свободы – число независимых функций времени, с помощью которых можно однозначно определить изменение состояния колебательной системы. Хотя в курсе общей физики втуза, как правило, ограничиваются изучением только систем с одной степенью свободы, необходимо иметь представление о том, что на практике часто встречается даже предельный случай, когда число степеней свободы стремится к бесконечности. В этом случае говорят о так называемых распределенных колебательных системах (струна, мембрана, электрический кабель, объемный резонатор и т. п.).

Смещение (s) – физическая или иная величина, характеризующая отклонение (отличие) колебательной системы от положения равновесия (например, угол отклонения нити маятника от вертикали, заряд на выбранной обкладке конденсатора, противоречия между производительными силами и производственными отношениями). Как правило, для упрощения математического описания смещение определяют так, чтобы положению равновесия соответствовало нулевое значение.

Свободные колебания – колебания, происходящие без переменного внешнего воздействия в результате начального отклонения системы от положения равновесия. Что относить к колебательной системе, а что – к внешним объектам (источникам внешнего воздействия), в каждом конкретном случае решается отдельно, чаще всего по соображениям удобства дальнейшего физического описания, но встречаются случаи и влияния исторических традиций.

Периодические колебания – колебания, при которых значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему, повторяются через равные промежутки времени. С позиций формальной математики – это колебания, для которых смещение является периодической функцией времени. Непериодические колебания часто называют стохастическими, и их изучением, как правило, занимаются соответствующие разделы специальных дисциплин, связанных с явлениями, в которых они возникают.

Полное колебание – процесс, при котором система переходит из какого-нибудь состояния через другие состояния и возвращается в исходное состояние (например, “путешествие” маятника от левого крайнего положения к правому и обратно).

Период колебаний (T) – наименьший промежуток времени, через который полностью повторяется состояние колебательной системы. Для конкретных расчетов удобнее использовать определение, полностью опирающееся на соответствующее определяющее соотношение: “Отношение времени колебаний к соответствующему числу полных колебаний”.

Частота колебаний (ν) – отношение числа полных колебаний к соответствующему промежутку времени. Число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Связь между периодом и частотой имеет вид

. (1)

Гармонические колебания – колебания, для которых смещение зависит от времени по закону синуса или косинуса (конкретная гармоническая функция легко меняется выбором соответствующей начальной фазы j₀).

2 УРАВНЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Уравнение гармонических колебаний

s = A cos(wt + j₀) или s = A sin(wt + j₁), (2)

где A – амплитуда колебаний (максимальное значение смещения); wt + j₀ – фаза колебаний; w = 2p/Т = 2πν – собственная круговая (циклическая частота); t – текущее время; j₁ = j₀ + p/2.

Во многих практических явлениях реальные колебания не являются гармоническими. Однако их изучение является исключительно важным по многим причинам. Во-первых, в подавляющем числе случаев при стремлении амплитуды колебаний к нулю, зависимость смещения от времени стремится к гармоническому закону, во-вторых, то же самое имеет место при пренебрежимо малых потерях энергии колебательной системой, в-третьих, во многих случаях оказывается справедлив принцип суперпозиции, согласно которому любые колебания можно представить как наложение нескольких колебательных процессов, а значит, смещение будет равно сумме соответствующих смещений. Поэтому для анализа любых колебаний с успехом может быть применен мощный математический аппарат рядов Фурье и интеграла Фурье, который опирается как раз на гармонические функции.

Часто важный физический смысл имеют величины, равные первой и второй производной по времени от смещения. Так, например, для механических колебаний пружинного маятника (груз, соединенный с абсолютно упругой пружиной и совершающий колебания под действием упругой силы) в качестве смещения принято считать линейную координату груза (x). Тогда первой производной отвечает проекция скорости груза на эту координату (рисунок 1)

. (3)

Рисунок 1 – Зависимости смещения, его первой и второй производных от времени для гармонических колебаний

Второй производной отвечает проекция ускорения

. (4)

Для колебаний в колебательном контуре удобнее всего в качестве смещения выбрать заряд одной из обкладок конденсатора. Тогда его первая производная по времени будет равна (с точностью до знака в зависимости от выбора положительного направления) силе протекающего тока.

Из уравнения (3) следует, что амплитуда (максимальное значение) первой производной от смещения ("скорости" колебаний) и ее начальная фаза

A' = wA, . (5)

Аналогично из выражения (4) соответствующие величины для второй производной ("ускорения" колебаний)

, j₀ + p. (6)

Из уравнений (2) и (4) вытекает так называемое дифференциальное уравнение гармонических колебаний

, (7)

играющее исключительно важную роль в теории колебаний, т.к. именно с его помощью (или с помощью уравнений подобного типа) на практике исследуются различные физические системы на возможность протекания в них колебаний и на возможные типы колебаний.

3 МАЯТНИКИ

Общий метод исследования состоит: в выборе той физической величины, которая будет представлять собой смещение; записи основных уравнений, описывающих рассматриваемую систему, с помощью смещения и его производных; определении условий, при выполнении которых эти уравнения сводятся к дифференциальному уравнению гармонических колебаний (или к уравнению подобного типа); расчете собственной круговой частоты, периода и т.п.

Рисунок 2 – Пружинный маятник

Для пружинного маятника, совершающего колебания на горизонтальной гладкой поверхности (вектор ускорения направлен горизонтально) сила тяжести и сила нормальной реакции опоры (на рисунке 2 не показаны) направлены вертикально. Единственная сила, направленная горизонтально, – сила упругости пружины; отсюда второй закон Ньютона в проекции на ось 0X запишется следующим образом:

. (8)

Или с учетом закона Гука и выражения для проекции ускорения –

. (9)

Сравнение выражения (9) с дифференциальным уравнением (7) позволяет сделать вывод о том, что при рассматриваемых условиях (отсутствие трения и справедливость закона Гука) пружинный маятник, будучи как-либо выведен из равновесия, будет совершать гармонические колебания; циклическая частота и период таких колебаний задается формулами

, . (10)

Рисунок 3 – Физический маятник

Физический маятник – твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс, и совершающее колебания под действием силы тяжести.

Если в качестве смещения выбрать угол a (рисунок 3) между вертикалью (соответствует положению равновесия) и линией, проходящей через ось подвеса перпендикулярно ей (т. 0) и центр масс маятника (т. C), то момент относительно этой оси (оси колебаний) будет создавать только сила тяжести. Для положения, приведенного на правой части рисунка 3, этот момент равен

, (11)

где m – масса тела; l – расстояние от оси до центра масс тела.

Угловое ускорение тела связано с углом отклонения через производную по времени

. (12)

С учетом этих выражений основное уравнение динамики вращательного движения для физического маятника преобразуется следующим образом:

, (13)

где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний.

Для малых углов (a << 1) sina » a, и последнее выражение в зависимости (13) преобразуется к виду, по структуре совпадающему с равенством (7):

, (14)

откуда следуют выражения для характеристик колебаний

, , (15)

а также вывод о возможности гармонических колебаний для физического маятника, при условии малости углов отклонения от положения равновесия.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания под действием силы тяжести. Таким образом, математический маятник – частный случай физического маятника, когда тело представляет собой материальную точку, расположенную на расстоянии l от оси колебаний. При этом момент инерции
J = ml², поэтому из выражений (15) следует

, . (16)

Приведенная длина физического маятника (L_пр) – длина математического маятника, частота колебаний которого равна частоте колебаний рассматриваемого физического маятника. Из уравнений (15) и (16) следует

. (17)

На практике расчет момента инерции часто удобно проводить с помощью теоремы Штейнера

J = J₀ + ma², (18)

где J₀ – момент инерции маятника относительно оси параллельной оси вращения и проходящей через центр масс; а – расстояние между этими осями.

Момент инерции составного тела

, (19)

где J_i – момент инерции части (элемента) тела с номером i; N – количество частей, из которых состоит тело.

Моменты инерции простых тел:

Материальная точка ................................ J = mR².

Тонкий диск (рисунок 4, а) ...................... .

Шар (рисунок 4, б) .................................. .

Тонкий стержень (рисунок 4, в) ............... .

Тонкий стержень (рисунок 4, г) ............... .

Рисунок 4 – Простые тела, используемые в качестве элементов физических маятников

4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР

Рисунок 5 – Идеальный колебательный контур

Электрический колебательный контур (колебательный контур) – цепь, состоящая из идеальных (т.е. без потерь энергии) конденсатора и катушки индуктивности.

Если в качестве смещения выбрать заряд q одной из обкладок конденсатора (например верхней на рисунке 5), а положительное направление силы тока i выбрать по направлению к этой обкладке, то будет справедлива связь

. (20)

Второе правило Кирхгофа для этого контура (направление обхода соответствует движению часовой стрелки)

, (21)

где – алгебраическая величина напряжения на конденсаторе (для данного направления обхода и выбора смысла заряда q); – ЭДС самоиндукции в катушке (по закону самоиндукции, который справедлив при условии постоянства индуктивности). С учетом этих соотношений и уравнения (20) выражение (21) сводится к

. (22)

Отсюда можно сделать вывод о том, что в идеальном колебательном контуре (т.е. при отсутствии потерь энергии) при справедливости закона самоиндукции возможны гармонические колебания, характеристики которых из сравнения с выражением (7) будут иметь вид

, . (23)

Последнюю в уравнениях (23) формулу, часто называют формула Томсона. В соответствии с этим уравнение гармонических колебаний в контуре можно записать в виде

, (24)

где q_max – максимальное значение заряда на обкладке конденсатора.

Из выражений (3) и (20) вытекает зависимость силы тока от времени

, (25)

где [по (5)] – максимальное значение силы тока.

5 НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ

Амплитуда и начальная фаза в уравнении (2) определяются начальными условиями, т. е. конкретным видом начального отклонения системы от положения равновесия. В качестве примера рассмотрим пружинный маятник, для которого в начальный момент времени (t = 0) координата равна x₀, а проекция скорости – v_x,0 (задание модуля начальной скорости полностью не определяет вид последующих колебаний, т. к. при этом проекция может иметь разные знаки, что соответствует различным направлениям движения в этот момент):

. (25а)

После подстановки условий (25а) в уравнения (2) и (3) получим систему двух уравнений для двух неизвестных (A и j₀):

, (25б)

решение которой дает выражения для амплитуды и начальной фазы:

. (25в)

Определение этих параметров при начальных условиях другого типа проводится с помощью аналогичной математической процедуры.

6 ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАНИЙ

Кинетическая энергия тела, участвующего в механических колебаниях (на примере пружинного маятника),

; (26)

потенциальная энергия тела

. (27)

Для механических колебаний других видов (например, для физического или математического маятника) формулы (26) и (27) остаются справедливыми, если соответствующим образом определить смещение и его амплитуду как линейные характеристики, или заменяются на подобные (например, как это проделывается в динамике вращательного движения при переходе к энергии вращающегося тела).

Рисунок 6 – Энергия тела при механических гармонических колебаниях

Полная энергия механических колебаний (рисунок 6)

. (28)

Энергия электрического поля в конденсаторе (энергия заряженного конденсатора) при электромагнитных колебаниях в контуре

. (29)

Энергия магнитного поля в катушке при электромагнитных колебаниях в контуре

. (30)

Полная энергия электромагнитных колебаний

. (31)

Сохранение полной энергии при гармонических колебаниях позволяет получить дифференциальное уравнение гармонических колебаний с помощью анализа соответствующего закона сохранения. Например, для случая, когда маленький шарик катается по дну сферической чашки радиуса R, удобнее всего в качестве смещения выбрать угол a между линией, соединяющей центр кривизны чашки (т. O) с центром масс шарика (т. C), и вертикалью, которая в этом случае соответствует положению равновесия шарика на дне чашки (рисунок 7). Тогда модуль линейной скорости центра масс шарика будет задаваться выражением

, (32)

Рисунок 7 – Колебания маленького шарика по дну сферической чашки

где r – радиус шарика. В этом случае угловая скорость его вращения относительно оси, проходящую через т. A (при чистом качении эта точка в каждый момент времени является неподвижной),

. (33)

По теореме Штейнера момент инерции шарика относительно оси, проходящей через т. A,

, (34)

где m – масса шарика.

Так как движение шарика относительно этой оси является чистым вращением, то его кинетическая энергия

. (35)

Потенциальная энергия шарика в поле тяжести относительно его самого низкого положения определяется высотой поднятия центра масс:

. (36)

Закон сохранения механической энергии в этом случае будет представлен уравнением

. (37)

Подставим выражения (35) и (36) в зависимость (37) и от обеих частей получившегося равенства возьмем производную по времени:

. (38)

После сокращения на получим уравнение, которое при условии малости колебаний по структуре полностью совпадает с дифференциальным уравнением гармонических колебаний:

. (39)

Из сравнения этой формулы с дифференциальным уравнением (7) для маленького шарика (r << R) получим

; . (40)

7 МЕТОД ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ

Рисунок 8 – Метод векторных диаграмм

Для наглядного представления закономерностей гармонических колебаний часто применяют так называемый метод векторных диаграмм, в соответствии с которым рассматривается взаимнооднозначное соответствие между колебательным процессом и равномерным вращением против часовой стрелки (положительное направление для отсчета углов) вектора (рисунок 8). При этом амплитуда колебаний (A) соответствует длине вектора; циклическая частота (w) – угловой скорости вращения; фаза колебаний (j) – углу между вектором и горизонтальной осью координат; начальная фаза (j₀) – начальному значению угла; смещение (s) – проекции вектора на горизонтальную ось. Метод опирается на математическое выражение для проекции вектора, которое для горизонтальной оси совпадает с первой формулой в выражении (2). В рамках этого метода сложение двух гармонических колебаний одного направление и одинаковой частоты:

(41)

Рисунок 9 – Сложение колебаний одинакового направления

соответствует сложению двух векторов, вращающихся с одной и той же скоростью, в результате чего угол между ними остается постоянным, и вся конструкция представляет собой вращающийся жесткий параллелограмм (рисунок 9, на котором параллелограмм изображен в начальный момент времени). В результате получается гармоническое колебание той же частоты с амплитудой

(42)

и с начальной фазой

, (43)

где А₁ и А₂ – амплитуды складывающихся колебаний; j₀₁ и j₀₂ – их начальные фазы.

Из уравнения (42) следует, что при выполнении условия Dj = 2pk амплитуда принимает максимальное значение A_max = A₁ + A₂. Здесь Dj – разность фаз складываемых колебаний (т.к. частоты одинаковы, то можно взять начальный момент времени, для которого Dj = j₀₂ – j₀₁); k – любое целое число. При условии, что
Dj = 2pk + p, амплитуда принимает минимальное значение .

8 БИЕНИЯ

На практике часто встречаются, так называемые, квазигармонические колебания – колебания, которые практически не отличаются от гармонических на протяжении времени, не намного превышающем период. Одним из простейших примеров могут служить биения – квазигармонические колебания, для которых амплитуда является медленной периодической функцией времени. Чаще всего они образуются при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний с близкими частотами:

. (44)

Рисунок 10 – График биений. Пунктирная линия – изменение амплитуды биений

Так как частоты несколько отличаются, то без потери общности можно выбрать такой начальный момент времени, для которого обе начальные фазы принимают нулевое значение. В результате сложения этих колебаний (при равных амплитудах складывающихся колебаний) образуются биения, описываемые уравнением

,(45)

где Dw = w₂ – w₁ << w – разность частот складываемых колебаний; w₁ » w₂ » w – их частоты (рисунок 10).

Как следует из определения биений, изменением их амплитуды за время, сравнимое с периодом колебаний, можно пренебречь.

Амплитуда и период биений (период относительно медленного изменения амплитуды квазигармонических колебаний), образующихся при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и близкими частотами,

, . (46)

В рамках метода векторных диаграмм биениям соответствует схема на рисунке 9, но для которой вектора вращаются с немного отличающимися угловыми скоростями. Поэтому получающийся при сложении параллелограмм не будет являться жестким. Длина его диагонали, соответствующая амплитуде биений, будет изменяться от минимального значения , что соответствует противоположному направлению складываемых векторов, до максимального значения , что соответствует одинаковому их направлению. Для равных амплитуд (A₁ = A₂ = A) соответственно A_min = 0; A_max = 2A.

Биения – один из примеров так называемых модулированных колебаний, т е. таких колебаний, параметры которых изменяются во времени. В данном случае изменяется амплитуда, а в общем случае может изменяться также частота и фаза (частотно-модулированные и фазомодулированные колебания). Модулированные колебания используются в технике для передачи информации. Например, для передачи телевизионного сигнала используется амплитудная модуляция электромагнитных колебаний, а для передачи радиосигнала метрового и дециметрового диапазонов – частотная модуляция, о чем говорит английская аббревиатура FM (frequency modulation).

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний (вдоль осей x и y) одинаковой частоты

Рисунок 11 – Траектория движения точки при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода

; , (47)

уравнение траектории результирующего движения имеет вид уравнения эллипса (рисунок 11; , , ):

. (48)

Из уравнения (48) вытекают частные случаи:

– при Dj = 0 траектория представляет собой отрезок прямой, проходящей через первый и третий квадранты:

; (49)

– при Dj = π траектория представляет собой отрезок прямой, проходящей через второй и четвертый квадранты:

; (50)

– при Dj = π/2 и A₁ ≠ A₂ траектория представляет собой эллипс, для которого амплитуды равны соответствующим полуосям, а последние ориентированы параллельно осям координат:

; (51)

– при Dj = π/2 и A₁ = A₂ = A эллипс вырождается в окружность с радиусом, равным амплитуде:

. (52)

9 ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

В реальных колебательных системах энергия может необратимо переходить в другие формы, в результате чего энергия, связанная собственно с колебаниями, монотонно уменьшается. При не очень интенсивной потере энергии такие колебания могут рассматриваться как квазигармонические. Так как по уравнениям (28) и (31) энергия монотонно зависит от амплитуды, то на практике используется следующее определение: затухающие колебания – квазигармонические колебания, для которых амплитуда монотонно уменьшается с течением времени.

Примеры механизмов необратимого перехода (потери) энергии:

– выделение тепла при действии силы трения или сопротивления;

– выделение тепла при протекании электрического тока по проводнику с ненулевым сопротивлением;

– излучение электромагнитных волн при изменении электрического поля в конденсаторе и/или магнитного поля в катушке;

– выделение тепла при не полностью обратимой деформацией пружины (механический гистерезис);

– выделение тепла при необратимой переполяризации диэлектрика в конденсаторе и/или необратимом перемагничивании сердечника в катушке и т.п.

Простейший случай механических затухающих колебаний соответствует пружинному маятнику, где на тело дополнительно действует горизонтальная сила сопротивления, соответствующая закону вязкого трения:

, (53)

где r – коэффициент сопротивления; – вектор скорости тела.

В этом случае второй закон Ньютона в проекции на ось 0X примет вид

. (54)

С учетом формулы (53), закона Гука и выражения для проекций скорости и ускорения

. (55)

Рисунок 12 – Колебательный контур с затуханием

Простейший случай электрических затухающих колебаний соответствует контуру на рисунке 5, где добавлен резистор сопротивлением R (рисунок 12). Напряжение на резисторе

. (56)

Второе правило Кирхгофа для этого контура (направление обхода соответствует движению часовой стрелки)

, (57)

С учетом зависимости (56) и соотношений, приведенных перед формулой (22), выражение (57) сводится к

. (58)

Оба дифференциальных уравнения: правое соотношение в выражении (55) и соотношение (58), имеют один и тот же функциональный вид и могут быть записаны единым образом:

, (59)

где введены обозначения: b – коэффициент затухания; w₀ – циклическая частота собственных незатухающих колебаний (эта величина уже встречалась ранее при изучении гармонических колебаний, но здесь для нее немного изменено обозначение). Уравнение (59) в литературе чаше всего называется дифференциальное уравнение затухающих колебаний, однако надо иметь в виду, что в природе могут встречаться и другие, более сложные случаи потери энергии, не сводящиеся к соотношениям (53) или (56), и при этом получающиеся дифференциальные уравнения также могут описывать затухающие колебания, но сами могут быть значительно сложнее, в частности могут быть нелинейными, могут содержать дополнительные члены и т.п.

В ряде случаев такие дифференциальные уравнения с какой-то точностью удается свести к видам (55), (59) или т. п. В этом случае для электрических цепей используют термин активное сопротивление, обозначая им соответствующий коэффициент в уравнении, даже если потери энергии не связаны с выделением тепла на резисторе, а определяются другими механизмами.

Сравнение выражения (59) с (55) и (58) показывает, что для пружинного маятника

, (60)

а для контура –

. (60а)

Сравнение с уравнениями (9) и (22) приводит к тем же соотношением для w₀, что и в выражениях (10) и (23).

Анализ уравнения (59) позволяет сделать вывод, что при выполнении условия

(61)

решение представляет собой квазипериодическую функцию. Поэтому неравенство (61) получило название условие существования затухающих колебаний. Соответствующее решение, которое называется уравнением затухающих колебаний, имеет вид (рисунок 13)

, (62)

Рисунок 13 – Затухающие колебания

где А₀ – начальное значение амплитуды колебаний; – цик-лическая частота затухающих колебаний.

Аналогично тому, как это имело место для гармонических колебаний (2), параметры А₀ и j₀ в уравнении (62) полностью определяются начальными условиями. Рассмотрим движение пружинного маятника (но теперь с затуханием) с начальными условиями (25а). Беря производную по времени от функции (62) (здесь смещением является координата x), получим уравнение для проекции скорости тела в случае затухающих колебаний

. (62а)

После подстановки условий (25а) в уравнения (62) и (62а) получим систему двух уравнений для двух неизвестных (A и j₀)

, (62б)

решение которой дает выражения для начальных амплитуды и фазы

. (62в)

Определение этих параметров при начальных условиях другого типа проводится с помощью аналогичной математической процедуры.

При достаточно медленном затухании затухающие колебания можно рассматривать как квазигармонические. Тогда из выражения (62) вытекает, что амплитуда затухающих колебаний зависит от времени по закону

. (63)

Это соотношение можно представить в виде

, (64)

где t_р – время релаксации – интервал времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз (е – основание натурального логарифма). С использованием данной величины, коэффициент затухания можно определить как величину, обратную времени релаксации.

Для характеристики затухающих колебательных процессов часто используют декремент затухания – отношение амплитуд колебаний, разделенных интервалом времени, равным одному периоду, и логарифмический декремент затухания – натуральный логарифм от первой величины:

. (65)

Для затухающих колебаний в виде выражения (62), которые часто называются экспоненциально затухающими, имеет место следующая связь логарифмического декремента затухания с периодом квазигармонических затухающих колебаний:

. (66)

Следует иметь в виду, что уравнение (65) является определяющим и поэтому справедливо для любого случая затухания (т. е. для любого закона уменьшения амплитуды), а уравнение (66) справедливо только для экспоненциального затухания, т.е. для решения в виде выражения (62).

На практике особый интерес представляют два крайних случая: во-первых, когда предпринимают все меры для того, чтобы сделать затухание как можно более малым, во-вторых, когда стремятся сделать затухание как можно более сильным. В первом случае имеют место так называемые слабозатухающие колебания. Их условие имеет вид

b << w₀. (67)

В этом случае для характеристики колебательной системы используют понятие добротность (колебательной системы) – отношение энергии, запасенной в колебательной системе, к средней ее потере за интервал времени, в течение которого фаза колебаний изменяется на 1 радиан. Определяющее уравнение имеет один из видов

, (68)

где W – энергия, запасенная в системе в данный момент времени; DW₁ – средняя потеря энергии за время, в течение которого фаза колебаний увеличивается на один радиан; DW_T – средняя потеря энергии за один период. Второе из соотношений справедливо, т.к. при слабом затухании потеря энергии за период примерно в 2π раз больше, чем за время, в течение которого фаза колебаний увеличивается на один радиан (одному периоду соответствует изменение фазы на 2π радиан).

Для квазигармонических колебаний энергия, запасенная в системе, пропорциональна квадрату амплитуды (как это имеет место для гармонических колебаний), поэтому соотношение (68) может быть преобразовано следующим образом:

.

Для колебаний, происходящих по закону (62), амплитуда изменяется по формуле (63) и последнее соотношение может быть выражено в виде

.

Здесь использован закон изменения амплитуды (63), а также разложение экспоненты в ряд с сохранением двух первых членов, что справедливо именно для слабозатухающих колебаний. Использование связи периода с циклической частотой, формулы для циклической частоты затухающих колебаний вместе с условием (67), формулы для логарифмического декремента затухания (66), смысла времени релаксации позволяет получить ряд важных для практики соотношений:

. (69)

Отсюда следует, что добротность определяет число колебаний N_e, которое совершится в колебательной системе после первоначального толчка, прежде чем амплитуда уменьшится в е » 2,72 раза.

Следует иметь в виду, что соотношения (69), во-первых, справедливы только для экспоненциального затухания, а, во-вторых, что еще более важно, имеют смысл только для слабозатухающих колебаний, т.е. при выполнении условия (67). Поэтому решение практической задачи, опирающееся на уравнения (69), в случае невыполнения условия (67) может быть не только неверным количественно, но и давать качественную ошибку (скрывать случай апериодического затухания) (см. далее).

Для слабозатухающих колебаний груза на пружине ; для электрического контура

, . (70)

Величина R_В называется волновым сопротивлением. С ее по-мощью условия (61) и (67) для колебаний в контуре могут быть записаны соответственно как

; . (71)

Рисунок 14 – Апериодическое затухание

При выполнении условия (условие апериодического затухания)

(72)

колебания не происходят, а смещение после начального отклонения монотонно уменьшается (рисунок 14). Единственным исключением является однократное прохождение через положение равновесия при специфических начальных условиях (например, для пружинного маятника, при дополнительном толчке в сторону положения равновесия, т.е. при положительном начальном смещении и проекции начальной скорости v_0x < 0).

10 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Вынужденные колебания (в широком смысле) – колебания, происходящие в результате внешнего воздействия.

Вынужденные колебания (в узком смысле) – колебания, происходящие в результате внешнего периодического воздействия.

Простейшим случаем периодического внешнего воздействия является гармоническое воздействие. Например, для механических колебаний груза на пружине под действием внешней силы, которая изменяется по закону синуса или косинуса. Для электромагнитных колебаний примером источника такого воздействия может служить источник переменного напряжения, включенный в контур на рисунке 12.

В дальнейшем, если это не будет оговорено особо, под вынужденными колебаниями будем понимать случай внешнего гармонического воздействия.

Для механических колебаний груза на пружине в правой части уравнения (55), соответствующего второму закону Ньютона, появится дополнительное слагаемое, представляющее собой проекцию внешней силы . Здесь F_m – максимальное значение внешней силы; W – циклическая частота ее изменения. Для упрощения здесь выбран такой отсчет времени, чтобы начальная фаза внешнего воздействия равнялась нулю. В результате второй закон Ньютона примет вид

. (73)

Аналогично, включение в контур на рисунке 12 источника внешнего напряжения (U_m – его максимальное значение) приведет к появлению в уравнении (57), которое отражало второе правило Кирхгофа, еще одного слагаемого. Однако надо иметь в виду, что на практике под термином “внешнее напряжение” чаще всего понимают ЭДС источника, поэтому соответствующее слагаемое в уравнении (57) добавится в правой части:

. (74)

После подстановки всех выражений, использованных при выводе формулы (58), получим соответствующее соотношение:

. (75)

Оба дифференциальных уравнения: правое соотношение в выражении (73) и соотношение (75), имеют один и тот же функциональный вид и могут быть записаны единым образом:

, (76)

где два параметра уже встречались в дифференциальном уравнении затухающих колебаний (коэффициент затухания b и циклическая частота собственных незатухающих колебаний w₀), а также введен новый параметр f_m, который не имеет общепринятого названия. В общем случае W называется циклической частотой внешнего воздействия. Уравнение (76) в литературе чаще всего называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний, однако надо иметь в виду, что в таком виде оно соответствует простейшему виду внешнего воздействия, описываемому гармонической функцией; кроме этого остаются в силе все замечания, сделанные после вывода уравнения (59).

Сравнение выражения (76) с (73) и (75) показывает, что для пружинного маятника

, (77)

а для контура –

. (78)

По своей математической структуре уравнение (76) представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно, его общее решение равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Соответствующее однородное уравнение получается из (76) приравниванием к нулю правой части, в результате чего получится ни что иное, как уравнение (59), общее решение которого представлено уравнением (62) (будем рассматривать более важный для практики случай, когда затухание относительно мало). Таким образом, нам остается найти какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

Будем искать его в виде

, (79)

где два параметра: A – амплитуда и j – фаза колебаний – еще требуют определения (дальше названия этих параметров будут уточнены).

Формально это можно проделать, подставив формулу (79) в уравнение (76), но нагляднее и проще будет применить метод векторных диаграмм. Для этого заметим, что в соответствии с уравнениями (3) и (4) каждое из слагаемых в левой части уравнения (76) представляет собой гармоническое колебание с одной и той же циклической частотой W, но различными амплитудами и фазами. Сведем все эти параметры в таблицу:

Слагаемое в выражении (76)	Амплитуда	Фаза при t = 0
Правая часть	A	0

–

–

–

m

–

Рисунок 15 – Применение метода векторных диаграмм к вынужденным колебаниям

По методу векторных диаграмм уравнение (76) будет представлять собой равенство суммы трех векторов, соответствующих трем слагаемым в левой его части, четвертому вектору, соответствующему правой части уравнения. Сначала сложим первое и третье слагаемое в левой части уравнения (76), а затем прибавим к ним второе по методу параллелограмма (рисунок 15).

Из теоремы Пифагора для получившегося прямоугольного треугольника и элементарной тригонометрии получим выражения для амплитуды (рисунок 16) и фазы частного решения (рисунок 17)

; (80)

. (81)

Рисунок 16 – Амплитуда смещения при вынужденных колебаниях	Рисунок 17 – Фаза смещения при вынужденных колебаниях

Из полученных выражений следует, что амплитуда и фаза частного решения определяются только параметрами колебательной системы (w₀ и b) и свойствами внешнего воздействия (f_m и W), а значит, не зависят от начального состояния системы (состояния в момент начала внешнего воздействия). Параметры начального состояния влияют только на общее решение однородного дифференциального уравнения, вклад которого в полное решение с течением времени уменьшается по экспоненциальному закону. Поэтому уравнение (79) представляет собой уравнение установившихся вынужденных колебаний, т. е. для времен, когда слагаемым, соответствующим формуле (62), можно пренебречь. Из вышесказанного становится понятным, почему параметр j в уравнении (79) не называют начальной фазой.

Из формулы (80) можно получить выражения для характерных параметров зависимости A(W): амплитуды установившихся колебаний при нулевой частоте A⁰, первой резонансной частоты W_р (частоты внешнего воздействия, для которой достигается максимум амплитуды смещения установившихся вынужденных колебаний) и резонансной амплитуды A_р:

. (82)

Амплитуда установившихся колебаний при нулевой частоте соответствует постоянному внешнему воздействию. Проверим это, подставив в выражение (82) формулы (10) и (77) для колебаний груза на пружине и (23) и (78) – для электромагнитных колебаний в контуре:

; (83)

. (84)

Полученные выражения полностью соответствуют статическому смещению груза под действием постоянной силы (83) и постоянному заряду на пластине конденсатора, подключенного к постоянному напряжению (84).

Для определения первой резонансной частоты необходимо исследовать функцию A(W) в уравнении (80) на максимум. Для этого заметим, что числитель является постоянной величиной, а знаменатель представляет собой корень квадратный из другой функции. Поэтому максимуму функции A(W) соответствует минимум подкоренного выражения. Найдем его, приравняв первую производную к нулю:

. (85)

Из последнего уравнения в (85) следует выражение для первой резонансной частоты (предлагаем читателям самостоятельно проверить выполнение достаточного условия минимума подкоренного выражения)

. (86)

Наконец, выражение для резонансной амплитуды получим, подставив формулу (86) в соотношение (80):

. (87)

Для случая малого затухания () формула (87) упрощается:

. (88)

Рисунок 18 – Монотонное установление колебаний

Следует помнить, что полученные максимальные величины относятся только к установившимся колебаниям.

Рисунок 19 – Немонотонное установление колебаний

Чаще всего процесс установления колебаний протекает так, как это представлено на рисунке 18. Однако в ряде случаев в моменты времени, близкие к начальному, когда слагаемое, соответствующее затухающим колебаниям (общее решение однородного дифференциального уравнения) еще не является пренебрежимо малым, смещение может почти в два раза превосходить резонансную амплитуду. Это явление очень похоже на биения. Здесь складываются колебания, описываемые уравнениями (62) и (79). Возможный случай такого установления представлен на рисунке 19.

11 РЕЗОНАНС

В случае, когда максимум зависимости A(W) имеет ярко выраженный характер, говорят о резонансе. Резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к резонансной частоте.

Из уравнений (82) и (88) вытекает, что отношение резонансной амплитуды смещения к амплитуде при нулевой частоте равно

, (89)

что с учетом формулы (69) может быть записано в виде

.

Последнее соотношение раскрывает смысл добротности, как величины, определяющей относительную "высоту" резонансного пика на зависимости A(W). Кроме этого, оно дает удобный наглядный способ расчета добротности по графику A(W). Дальнейший анализ функции (80) дает еще один способ определения добротности по этому графику. Если измерить "ширину" резонансного пика DW на "высоте", соответствующей значению амплитуды, равной (см. рисунок 16), будет справедливо соотношение

. (90)

Таким образом, добротность определяет не только "высоту" резонансного пика, но и его "ширину". Чем больше добротность, тем резонансный пик уже и выше.

Явление резонанса для негармонического внешнего воздействия (например, в виде периодических толчков) можно объяснить с помощью принципа суперпозиции. Действия отдельных толчков будут складываться. При этом, вообще говоря, действие очередного толчка будет одинаково часто как усиливать, так и ослаблять действие всех предыдущих. В результате амплитуда колебаний будет то увеличиваться, то уменьшаться, оставаясь сравнительно небольшой. Но если период толчков равен или кратен периоду собственных колебаний, то каждый толчок, действуя "в такт" с колебаниями, будет усиливать действие предыдущих; рост амплитуды при этом прекратится только благодаря тому, что существенное значение при большой раскачке приобретает затухание колебаний за время между двумя толчками.

Для многих практических приложений особую важность представляет собой вопрос о величине амплитуды "скорости" смещения. Соотношение (3) показывает, что эта величина в установившемся случае изменяется по закону

. (91)

По формулам (5) и (80) найдем амплитуду "скорости" смещения (рисунок 20):

, (92)

а по формулам (5) и (81) – его фазу (рисунок 21):

. (93)

Величину a часто называют сдвигом фаз.

Рисунок 20 – Амплитуда скорости смещения при вынужденных колебаниях	Рисунок 21 – Фаза скорости смещения при вынужденных колебаниях

Для решения вопроса об определении максимума функции заметим, что в формуле (92) подкоренное выражение представляет собой сумму двух квадратов, причем оно принимает минимальное значение, когда одно из слагаемых равно нулю. Нетрудно заметить, что это будет иметь место при следующем значении частоты внешнего воздействия:

. (94)

В силу того, что при таком значении циклической частоты реализуется максимальное значение амплитуды скорости смещения вынужденных колебаний, оно иногда называется "второй резонансной частотой", хотя этот термин и не очень широко распространен, т. к. соответствующая величина тождественна с циклической частотой собственных незатухающих колебаний. Подстановка (94) в (92) приводит к следующему выражению:

. (95)

С помощью соотношений (60) и (77) формула (93) в случае колебаний груза на пружине примет вид

, (96)

а с помощью соотношений (60а) и (78) формула (93) в случае электромагнитных колебаний контуре примет вид

. (97)

Формулы (96) и (97) показывают, что для второго резонанса явление происходит так, как будто действуют всего два фактора: внешняя сила и сила сопротивления для механических колебаний; источник внешнего напряжения и резистор для электромагнитных колебаний. С энергетической точки зрения резонанс объясняется тем, что между внешней силой и вынужденными колебаниями устанавливаются такие фазовые соотношения, при которых в систему поступает наибольшая мощность (т. к. скорость системы оказывается в фазе с внешней силой и создаются наиболее благоприятные условия для возбуждения вынужденных колебаний).

По графику на рисунке 20 также можно рассчитать добротность, если подобно тому, что делалось с рисунком 16, найти "ширину" резонансного пика на "высоте", равной , и использовать соотношение (90).

Резонансы различного типа часто наблюдаются в природе и играют огромную роль в технике. Практически все сооружения и машины способны совершать собственные колебания, поэтому периодические внешние воздействия могут вызвать в них резонансы. Например, нередким является резонанс моста под действием периодических толчков при прохождении поезда по стыкам рельсов, резонансы фундаментов сооружений или самих машин под действием их не вполне уравновешенных вращающихся частей. Во всех случаях резонанс приводит к резкому увеличению амплитуды вынужденных колебаний всей конструкции и может привести к разрушению сооружения. Для устранения этих вредных резонансов подбирают свойства системы так, чтобы частоты её собственных колебаний были далеки от возможных частот внешнего воздействия, либо используют различные поглотители или успокоители колебаний. В других случаях резонанс играет положительную роль, например, в радиотехнике резонанс – почти единственный метод, позволяющий отделить сигналы одной (нужной) радиостанции от сигналов всех остальных станций (фонового шума).

Рисунок 22 – Простейшая неразветвленная цепь переменного тока

Особый практический интерес представляет применение полученных соотношений для неразветвленной цепи переменного тока. По сути, такая цепь представляет собой рассмотренный выше колебательный контур, простейшей моделью которого является контур с сосредоточенными параметрами, т.е. состоящий из отдельных элементов, каждый из которых характеризуется какой-то одной характеристикой типа емкости, индуктивности и сопротивления (рисунок 22). Сделанные выводы и выведенные закономерности будут справедливы, если для этой цепи переменного тока будут справедливы правила Кирхгофа и, в частности, уравнение (74). Анализ особенностей вывода этих правил из законов сохранения заряда и энергии позволяет сделать вывод о принципиальной важности допущения про одинаковость величины силы тока во всех точках неразветвленной цепи в каждый конкретный момент времени. Для этого необходимо выполнение следующего условия:

, (98)

где t – время распространения электрического сигнала до самой дальней точки цепи; T – характерное время изменения электрического тока (для периодических колебаний совпадает с периодом).

Так как переменные электрические сигналы распространяются по электрической цепи со скоростью света, то условие (98) можно переписать в более удобном виде:

. (99)

Здесь l – характерная длина электрической цепи; ν – частота электрического тока. Соотношение (99) называется условием квазистационарности переменного тока. Все полученные ранее выводы теории вынужденных колебаний и те, более конкретные соотношения, которые будут получены далее, справедливы для переменного тока только при выполнении условия (99).

Роль рассмотренных ограничений проявляется в том, что колебательные контуры обычно применяются в качестве резонансной системы генераторов и усилителей в диапазоне частот от 50 кГц до 250 МГц. На более высоких частотах роль колебательного контура играют отрезки двухпроводных и коаксиальных линий, а также объёмные резонаторы.

При описании протекания переменного тока по электрической цепи часто используется понятие "напряжение на катушке". Дадим ему точное определение и выведем для него соответствующую формулу.

Определим эту величину, как напряжение, которое измерил бы вольтметр, будучи параллельно подключен к катушке (см. рисунок 22). В этом случае оно совпадает с разностью потенциалов между концами катушки. Запишем второе правило Кирхгофа для обхода контура по направлению часовой стрелки два раза. В первом случае контур проходит через источник, резистор, катушку и конденсатор:

, (100)

Здесь и далее переменные напряжения будем обозначать строчными буквами с соответствующими индексами.

Во втором случае контур проходит через источник, резистор, вольтметр и конденсатор, т. е. отрезок пути через катушку заменяется отрезком пути через вольтметр:

. (101)

Сравнение уравнения (100) с (101) и использование закона самоиндукции приводит к искомой формуле для напряжения на катушке:

. (102)

Получим основные соотношения и уравнения, характеризующие переменный ток в неразветвленной цепи, на базе самых начальных закономерностей гармонических колебаний и известных связей между физическими величинами, а затем сравним полученное с общими закономерностями вынужденных колебаний.

Как это принято при описании электромагнитных колебаний, используем в качестве смещения заряд на одной из обкладок конденсатора (в данном случае – на верхней) и воспользуемся уравнением (24) для представления его зависимости от времени. Тогда напряжение на конденсаторе будет изменяться по закону

. (103)

В соответствии с соотношением (20) между зарядом и силой тока последняя подчиняется уравнению (25). Исходя из закона Ома для резистора R, напряжение на нем

. (104)

По соотношению для напряжения на катушке (102), формуле для силы тока (25) и связи второй производной от смещения с самим смещением для случая гармонических колебаний получим

. (105)

Из сравнения формул (25), (103)–(105) следуют соотношения, связывающие амплитуды (т. е. максимальные значения) напряжений на конденсаторе U_Cm, резисторе U_Rm, катушке U_Lm и силы тока I_m:

. (106)

Формально коэффициенты в выражениях (106) связывают напряжения с силой тока, измеряются в "омах", поэтому их часто называют сопротивлениями: емкостное сопротивление R_C, активное сопротивление R и индуктивное сопротивление R_L:

. (107)

Следует иметь в виду, что последние два параметра связывают не мгновенные значения напряжений и силы тока, а максимальные, которые реализуются в различные моменты времени.

Соотношения (25), (103)–(105) принято записывать, выбирая нулевой (при t = 0) либо фазу напряжения на конденсаторе, либо фазу силы тока. В первом случае в упомянутых уравнениях следует положить j₀ = 0, а во втором уравнения примут вид

. (108)

В литературе можно встретить высказывания, отражающие особенности аргументов в (108), типа "напряжение на конденсаторе отстает на π/2 по фазе от силы тока" и " напряжение на катушке опережает на π/2 по фазе силу тока".

Применим метод векторных диаграмм, представив сложение трех функций в левой части уравнения (101) как сложение трех векторов, которые соответствуют уравнениям (108) (рисунок 23). Подобный рисунок называется диаграммой напряжений переменного тока. По сути, он полностью эквивалентен диаграмме на рисунке 15. Здесь a – сдвиг фаз между напряжением источника и силой тока:

. (108а)

Рисунок 23 – Диаграмма напряжений переменного тока

Формулы (108а) – это ни что иное, как правая часть уравнения (76) и соотношение (91), записанные в конкретных обозначениях для переменного тока.

Применение теоремы Пифагора к диаграмме на рисунке 23 позволяет получить соотношение

,

откуда после подстановки фор-мул (106) следует:

, (109)

где

. (110)

Второе соотношение в (109) называется законом Ома для переменного тока, а величина Z получила название полное сопротивление цепи переменного тока, хотя в данном случае это относится только к неразветвленной цепи. Формулу (110) можно записать еще и в другом, более компактном виде:

. (111)

Применение формул элементарной тригонометрии к диаграмме на рисунке 23 позволяет получить соотношение для сдвига фаз a

. (112)

Можно легко убедиться, что формулы (92) и (93) после подстановки в них соотношений (23), (60а) и (78) приводят к формулам (109) и (112) соответственно. Это является обоснованием, что основные закономерности переменного тока являются следствиями общей теории вынужденных колебаний.

Рассмотрим случай резонанса, понимая под ним достижение максимального значения амплитуды силы тока I_m, т. е. то, что в общей теории называлось вторым резонансом, а в электротехнике называется резонансом напряжений (подразумевается достижение максимума амплитудой напряжения на резисторе U_Rm, которая для линейных элементов всегда пропорциональна амплитуде силы тока) или последовательным резонансом.

Из выражений (109) и (110) сразу вытекает, что это имеет место при выполнении условия

, откуда следует .

Последнее соотношение совпадает с уравнением (94) с учетом формулы (23) (с точностью до обозначений).

Подставим формулу (94) в соотношения (106), (110) и (112). В результате с учетом выражений (70) для волнового сопротивления и добротности получим связь между амплитудами напряжений при рассматриваемом резонансе для переменного тока:

, (113)

а также аналогичную связь между амплитудами напряжений с амплитудой силы тока:

. (114)

При этом полное сопротивление цепи переменного тока совпадает с активным сопротивлением Z = R, а сдвиг фаз между напряжением источника и силой тока отсутствует: a = 0.

Эти соотношения позволяют сделать вывод, что волновое сопротивление и добротность являются важными параметрами, характеризующими закономерности протекания переменного тока при резонансе. Однако, на первый взгляд, здесь допущена определенная методическая ошибка. Дело в том, что формула (70) для добротности была выведена из определяющего уравнения (68) с помощью закономерностей, свойственных затухающим колебаниям. А соотношение (113) описывает закономерности совсем другого явления – вынужденных колебаний. Поэтому необходимо проверить, к каким следствиям приведет определяющее уравнение (68), если использовать закономерности, характерные для переменного тока, т. е. вынужденных колебаний в электрической цепи. Для этого запасенную в цепи полную энергию выразим через максимальное значение энергии магнитного поля в катушке по соотношению (31):

. (115)

Энергию, потерянную цепью за период рассчитаем для случая выделения тепла при прохождении электрического тока через резистор по закону Джоуля-Ленца. С учетом выражения для силы тока (25), связи между периодом и циклической частотой, а также формулы (23) для периода при резонансе, и получим (начальная фаза при интегрировании за период на результат не влияет):

. (116)

Подставим выражения (115) и (116) в определяющее уравнение для добротности (68):

.

Таким образом, уравнения (70) остаются справедливыми и для переменного тока, когда имеет место резонанс напряжения.

При выводе формул (106), (107) использовались самые начальные закономерности гармонических колебаний, связывающие различные характеристики в конкретной точке (локальные связи), типа (3), (4) и т.п., а также известные соотношения между физическими величинами, также имеющие локальный характер. Поэтому эти формулы также являются локальными, т. е. связывают различные параметры для каждого из элементов, независимо от того, что происходит в других элементах, где и как они расположены и сколько их. Кроме того, если в формуле (108) фазы в зависимостях напряжений от времени связывать с фазой протекающего через элемент тока (wt), то оно также будет справедливым в локальном случае. Таким образом, формулы (106)–(108) можно использовать и для описания разветвленных цепей переменного тока. Покажем, как это делается на примере так называемого резонанса токов.

12 РЕЗОНАНС ТОКОВ

Рисунок 24 – Параллельное соединение катушки и конденсатора

Рассмотрим идеальную схему, представленную на рисунке 24. Так как напряжения на катушке и на конденсаторе представляют собой разности потенциалов между концевыми выводами элементов, то при параллельном соединении они равны между собой. Запишем это, использовав равенства (106) и (108):

,

где I_Lm и I_Cm – амплитуды силы токов, протекающих через катушку и через конденсатор соответственно.

Полученное противоречие (равенство связывает величины разных знаков) возникло из-за невозможности одновременного протекания обоих токов в одном и том же направлении (как это представлено на рисунке). Верное соотношение получается, если за положительное направление одного из токов (например, i_L) выбрать обратное. Тогда равенство примет верный характер:

. (117)

Теперь соотношение (117) представляет собой связь между амплитудами сил токов. Так как направления токов в каждый момент времени противоположны, то их фазы отличаются на π радиан (как часто пишут об этом случае – "фазы токов противоположны").

Применим первое правило Кирхгофа к узлу А. С учетом вышеуказанных свойств токов i_L и i_C соответствующее соотношение для амплитуд будет иметь вид

. (118)

Подставим формулу (117) в равенство (118):

. (119)

Из соотношения (119) следует, что при параллельном соединении катушки и конденсатора, когда циклическая частота внешнего источника электрической энергии становится равной второй резонансной частоте (или циклической частоте собственных незатухающих колебаний контура) (23), сила тока через источник уменьшается до нуля. Это явление (своего рода антирезонанс) в электротехнике получило название резонанс токов, или параллельный резонанс. В неидеальной схеме, когда, например, катушка или соединяющие провода характеризуются какими-то ненулевыми активными сопротивлениями, при резонансе токов сила тока через источник не уменьшается до нуля, но ее амплитуда принимает минимальное значение.

Резонанс токов используется, например, при работе микроволновых печей, СВЧ-генераторов и т. п.

Кратко рассмотрим процесс передачи энергии при протекании переменного тока по неразветвленной цепи (см. рисунок 21).

Мгновенная мощность электрического тока во внешнем источнике по закону Джоуля-Ленца и с учетом соотношений (108а) равна

.

Найдем среднее значение мощности за период T тока:

.

Легко убедиться, что

, а ,

поэтому для средней мощности источника получается выражение

. (120)

Из диаграммы напряжений на рисунке 22 следует, что

,

поэтому окончательно для средней мощности источника получим

. (121)

Тепловую энергию, выделяющуюся на резисторе за период (энергию, теряемую контуром), мы уже получили в формуле (116). Найдем отсюда среднюю за период тепловую мощность, выделяющуюся на резисторе:

. (122)

Равенство мощностей в соотношениях (121) и (122) означает, что вся энергия, получаемая за период от источника, выделяется на резисторе, т. е. на других элементах (катушке и конденсаторе) необратимого перехода энергии в тепловую форму не происходит. Эта важнейшая закономерность нашла свое отражение в часто использующихся эпитетах для сопротивлений. Емкостное сопротивление R_C и индуктивное сопротивление R_L называют реактивными, в отличие от активного сопротивления R резистора. Часто в более узком смысле слова реактивным сопротивлением называют встречающуюся в формулах (111), (112) и т. п. комбинацию в виде разности

.

Полученную закономерность можно подтвердить, рассчитав, с использованием формул (106), (108) и (108а), мгновенные мощности на конденсаторе:

(123)

и на катушке

. (124)

Средние значения от них равны нулю, т. к. равны нулю соответствующие интегралы за период от гармонических функций. Из полученных соотношений для мгновенных мощностей следует, что в реактивных элементах (катушке и конденсаторе) в отдельные интервалы периода колебаний может запасаться энергия, а в другие – отдаваться другим элементам. Но суммарные изменения энергий за период в реактивных элементах равны нулю. Этот вывод целиком и полностью соответствует закономерностям гармонических колебаний, отраженным в формуле (31), когда амплитуда постоянна, а значит, постоянна и полная энергия колебаний.

Из формул (123) и (124) следует, что при резонансе мгновенные мощности на катушке и конденсаторе в любой момент равны по модулю и отличаются только знаком. Это означает, что при таких условиях в каждый момент времени энергия, отдаваемая конденсатором, запасается в катушке и наоборот, а энергия, отдаваемая источником, выделяется на резисторе. Таким образом, при резонансе электрическая схема на рисунке 21 эквивалентна схеме, в которой вообще отсутствуют катушка и конденсатор. Об этом же свидетельствует и вторая группа соотношений в (114), а также выводы о полном сопротивлении и сдвиге фаз между напряжением источника и силой тока.

Сравнение выражения (122) с формулой, следующей из закона Джоуля-Ленца, для выделяющейся мощности при протекании через резистор постоянного тока силой I

(125)

служит основанием для определения широко использующейся в быту физической величины – действующего значения силы тока. Из сравнения этих двух явлений вытекает ее определение: действующее значение силы переменного тока (I_д) – сила такого постоянного тока, для которого выделяющаяся мощность равна средней за период мощности рассматриваемого переменного тока. Из формулы (125) следует выражение

. (126)

Аналогично определяется действующее значение напряжения на резисторе; такой же вид имеет соответствующая связь с амплитудным значением. Соотношения (106), (109), (112), (113) и подобные им остаются справедливыми при одновременной замене всех амплитудных величин на действующие. В ряде простейших случаев это позволяет рассматривать отдельные явления, связанные с протеканием переменного тока, с помощью уравнений, соответствующих случаю постоянного тока. Так, например, широко известная в быту величина (которую теперь положено писать над каждой розеткой) 220 В является как раз действующим значением напряжения.

Следует, однако, иметь в виду, что формула (126) и подобные ей справедливы только для гармонического (синусоидального) переменного тока, а в случаях (правда, очень редких), когда сила тока и напряжения зависят от времени не по гармоническому закону, коэффициент между действующим и амплитудным значениями может иметь совсем другую величину.

13 ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Все рассмотренные выше случаи относились к так называемым линейным колебаниям (или линейным колебательным системам). Линейной называют систему, параметры которой не зависят от ее состояния. В общем случае это определение слишком расплывчато, да и не может быть другим. Для конкретных физических явлений дело обстоит проще. Так, например, для пружинного маятника система будет линейной, если сила упругости пропорциональна смещению (выполняется закон Гука), а сила сопротивления пропорциональна скорости тела, т. е. жесткость пружины и коэффициент сопротивления остаются неизменными. Для колебательного контура напряжение на резисторе должно быть пропорционально силе тока (выполняется закон Ома, т. е. сопротивление остается неизменным), напряжение на конденсаторе должно быть пропорционально заряду обкладки (электроемкость не изменяется), а напряжение на катушке – производной от силы тока (следствие выполнения закона самоиндукции и постоянства индуктивности). Иногда проще в качестве условия требовать квадратичной зависимости конкретного вида энергии от соответствующей физической величины. Но есть простой и конструктивный выход. Если из основных уравнений, описывающих рассматриваемую систему, вытекает линейное дифференциальное уравнение типа (7), (59), (76) и т. п., то колебательная система будет линейной. Для простоты это обстоятельство можно взять как определение линейной системы.

Важность изучения линейных систем и колебаний определяется тем, что для них справедлив принцип суперпозиции, о котором шла речь в самом начале. Так, например, если изменение с течением времени внешнего воздействия не описывается гармоническим законом, то соответствующая функция времени может быть представлена в виде ряда Фурье (для периодического случая) или в виде интеграла Фурье (для непериодического случая). Соответствующие ряд или интеграл могут быть подставлены в правую часть дифференциального уравнения (76) и, в силу его линейности, решение будет равно ряду (или интегралу) от решений, соответствующих каждому отдельному члену. С помощью этого мощного математического аппарата можно гарантированно получить уравнение колебаний (и не только их) для любого воздействия.

При действии на линейную систему периодического, но не гармонического внешнего воздействия, резонанс наступит только тогда, когда во внешнем воздействии содержатся гармонические составляющие с частотой, близкой к собственной частоте системы. При этом для каждой отдельной составляющей явление будет протекать так же, как рассмотрено выше. А если этих гармонических составляющих с частотами, близкими к собственной частоте системы, будет несколько, то каждая из них будет вызывать резонансные явления, и общий эффект, согласно принципу суперпозиции, будет равен сумме эффектов от отдельных гармонических воздействий. Если же во внешнем воздействии не содержится гармонических составляющих с частотами, близкими к собственной частоте системы, то резонанс вообще не наступает.

Для нелинейных систем (когда соответствующее дифференциальное уравнение является нелинейным) такая возможность отсутствует. Более того, аналитическое решение нелинейных дифференциальных уравнений возможно только в достаточно ограниченном ряде случаев. Для всех остальных вариантов приходится или получать решения численными методами, или использовать дополнительные качественные методы, которые могут дать оценку некоторых важных параметров нелинейных колебаний.

14 АВТОКОЛЕБАНИЯ

В качестве первого примера нелинейных колебаний рассмотрим так называемые автоколебания – незатухающие колебания в диссипативной нелинейной системе, поддерживаемые внешним постоянным источником энергии. Термин "диссипативная" означает, что в системе происходит необратимый переход энергии, запасенной в колебательной системе, в другие формы типа тепловой (потери энергии). Упор на это обстоятельство в определении не означает, что надо искусственно создавать потери. Просто физически адекватное описание в этом случае возможно только при учете потерь. В качестве примера можно рассмотреть вынужденные колебания в линейной системе при отсутствии потерь (b = 0). Из формул (80) и (92) следует, что при резонансе получится физически бессмысленное решение с бесконечными амплитудами. Как уже было отмечено, физически адекватное описание в этом случае возможно только при учете потерь, пусть даже очень малых.

В этом же определении отмечено и принципиальное отличие автоколебаний от любых других их видов: для осуществления этого явления не требуется внешнее периодическое воздействие. А постоянное воздействие, как это следует из свойств уравнения (76), может привести к незатухающим колебаниям только для нелинейных систем. Второе принципиальное отличие автоколебаний от других вынужденных колебаний состоит в том, что для первых амплитуда и период определяются свойствами самой системы. Автоколебания отличаются и от свободных колебаний тем, что для последних свойственно постепенное затухание, а амплитуда зависит от первоначального толчка, создающего эти колебания.

Примеры автоколебаний:

– колебания скрипичной струны под действием равномерно движущегося смычка (опыт показывает, что возвратное движение смычка не является необходимым, просто у скрипачей не очень длинные руки);

– колебания маятника в ходиках под действием силы со стороны очень медленно опускающейся гири (вообще говоря, в любых часах происходят автоколебания);

– самовозбуждающиеся колебания частей летательного аппарата при достижении определенной, т. н. критической, скорости (это явление получило название флаттер, и оно часто приводило к авариям);

– самоколебания носового колеса трёхколёсного шасси самолёта на рулении, разбеге и пробеге (это явление получило название шимми; оно тоже часто приводило к авариям. Русский академик М.В. Келдыш изучил явления флаттера и шимми и предложил практические меры борьбы с ними);

– самоколебания мостового сооружения под действием дующего с постоянной скоростью и направлением ветра (например, случай разрушения Такомского висячего моста, сооружённого в США в 1940);

– работа любого радиотехнического генератора.

Рисунок 25 – Генератор Ван-дер-Поля

Системы, в которых возникают автоколебания, называются автоколебательными. Во многих случаях такую систему можно разделить на три основных элемента: 1) колебательную систему (в узком смысле); 2) источник энергии, за счет которого поддерживаются автоколебания, и 3) устройство, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему (обратную связь). Рассмотрим эти элементы на примере простейшего лампового генератора (генератора Ван-дер-Поля) (рисунок 25). Здесь колебательной системой служит контур, содержащий конденсатор ёмкостью C и катушку индуктивностью L и обладающий малым активным сопротивлением R; выпрямитель (или батарея), питающий напряжением анод лампы (а), является источником энергии, а электронная лампа – устройством, регулирующим поступление энергии из источника в колебательный контур. Обратная связь осуществляется с помощью магнитного взаимодействия катушки контура и катушки L₁, включенной в цепь между катодом (к) и сеткой (с) лампы. Автоколебания осуществляются следующим образом. При протекании электрического тока через катушку L снизу вверх источник совершает положительную работу (направление сторонних сил совпадает с направлением тока). Благодаря связи катушек L–L₁, при этом на сетку подается положительный потенциал относительно катода и лампа не препятствует прохождению тока (один полупериод). Когда ток течет через катушку L в обратном направлении (другой полупериод колебаний), на сетку подается отрицательный потенциал относительно катода и ток через лампу, а значит и через источник не течет (течет только в колебательном контуре).

Чтобы колебания были незатухающими, поступающая из источника в систему энергия должна компенсировать потери энергии в самой системе (например, работа источника на одном полупериоде – потери при протекании через резистор, на другом). Такая компенсация происходит в целом за период колебаний; но в одни части периода поступающая энергия может превышать потери в системе, в другие, наоборот, потери в системе могут превышать поступление энергии в неё. То значение амплитуды колебаний, при котором происходит компенсация потерь в целом за период, и является стационарным (не изменяющимся со временем) значением амплитуды А. Такой баланс поступления и потерь энергии оказывается возможным только при определённых значениях амплитуды А_ст. (в простейших случаях только при одном значении). Отсюда следует условие стационарности автоколебаний:

DW_пост = DW_пот, (127)

где DW_пост – энергия, поступившая в колебательную систему за период; DW_пот – энергия, потерянная системой за период.

Рисунок 26 – Зависимости энергии от амплитуды для автоколебательной системы с мягким возбуждением

На изучении зависимостей этих величин от амплитуды колебаний основан приближенный метод исследования автоколебаний, так называемый энергетический метод. Чаще всего зависимости качественно имеют вид, представленный на рисунке 26. В этом случае при значениях амплитуды колебаний, меньших стационарной, поступление энергии в систему превышает потери в ней, вследствие чего амплитуда колебаний возрастает и достигает стационарного значения. Наоборот, при амплитудах, превышающих стационарное значение, потери энергии в системе превышают поступление энергии из источника, вследствие чего амплитуда колебаний уменьшается и также достигает стационарного значения. Таким образом, отклонения амплитуды в ту или другую сторону от стационарного значения затухают, и автоколебания в этих случаях устойчивы. Кроме того, для случая на рисунке 26 при сколь угодно малых амплитудах колебаний в систему поступает энергия больше, чем теряется в ней, поэтому происходит самовозбуждение колебаний (увеличение амплитуды от нулевого значения). Такие автоколебательные системы называются системами с мягким возбуждением.

Рисунок 27 – Зависимости энергии от амплитуды для автоколебательной системы с жестким возбуждением

Однако в некоторых случаях отклонение амплитуды колебаний от стационарного значения и нарушение компенсации потерь энергии в системе приводят к дальнейшему росту отклонений амплитуды от стационарного значения. Это будет иметь место, если при уменьшении амплитуды потери начинают преобладать над поступлением энергии или, наоборот, при увеличении амплитуды поступление энергии начинает преобладать над потерями. В этом случае автоколебания неустойчивы. Может иметь место случай, приведенный на рисунке 27. Колебания с амплитудой А_ст1 являются неустойчивыми, а с амплитудой А_ст2 – устойчивыми. Поэтому для того, чтобы в такой системе начали происходить автоколебания, необходим начальный толчок, превышающий по величине А_ст1. Такие автоколебательные системы называются системами с жестким возбуждением.

Форма автоколебаний, в основном, определяется соотношением между средней запасенной в системе энергией (W) и ее потерями за период. При выполнении условия

DW_пот << W, (128)

что аналогично случаю относительно большой добротности, потери энергии в колебательной системе относительно малы; поэтому для поддержания автоколебаний в систему за период должно поступать количество энергии, очень малое по сравнению с полной. При этом характер происходящих процессов почти не изменяется по сравнению с тем, как они протекали бы в системе без поступления энергии. В этом случае период и форма автоколебаний будут очень близки к периоду и форме собственных колебаний колебательной системы, а если собственные колебания в системе по форме близки к гармоническим (например, для достаточно малых амплитуд), то автоколебания также будут близки к гармоническим.

В обратном случае, когда имеет место условие

DW_пот >> W, (129)

Рисунок 28 – Релаксационный генератор

в систему поступает и из системы уходит энергия, гораздо большая, чем запасенная, что существенно меняет характер происходящих в ней процессов (система уже не колебательная, а апериодическая); в частности, форма автоколебаний может значительно отличаться от синусоидальной. В этом случае автоколебания превращаются в так называемые релаксационные колебания. Соответствующие системы (релаксационные) характерны тем, что при отключении источника энергии в них невозможны колебательные движения. Часто в системе преимущественное значение имеет один из энергоёмких параметров (например, ёмкость при пренебрежимо малой индуктивности или упругость при пренебрежимо малой массе). В этом случае каждый период может быть разделён на несколько резко разграниченных этапов (в простейшем случае – на два), соответствующих медленным и быстрым изменениям состояния системы (медленные и быстрые движения).

Простейший пример электрических релаксационных колебаний – колебания, возникающие при определённых условиях в схеме с газоразрядной лампой H (рисунок 28), которая обладает свойством зажигаться при некотором напряжении U₃ и гаснуть при более низком напряжении U_г. В этой схеме периодически осуществляется зарядка конденсатора C от источника тока через сопротивление R до напряжения зажигания лампы, после чего лампа зажигается, и конденсатор быстро разряжается через лампу до напряжения гашения лампы. В этот момент лампа гаснет, и процесс начинается вновь.

Рисунок 29 – Релаксационные колебания

В течение каждого периода этих релаксационных колебаний происходит относительно медленное изменение напряжения на конденсаторе U, когда он заряжается через резистор (током через лампу при этом можно пренебречь), и относительно быстрое его изменение, когда конденсатор разряжается через лампу (при этом ее сопротивление существенно меньше, чем у резистора). График этих процессов приведен на рисунке 29.

В зависимости от свойств системы возможно большое разнообразие форм релаксационных автоколебаний – от близких к гармоническим до скачкообразных и импульсных. Электрические релаксационные колебания широко применяются в измерительной технике, телеуправлении, автоматике и других разделах электроники. Для создания таких колебаний существуют разнообразные схемы генераторов релаксационных колебаний, например блокинг-генераторы, мультивибраторы, RС-генераторы и т. п.

15 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС

В качестве второго примера нелинейных колебаний рассмотрим так называемый параметрический резонанс – увеличение амплитуды колебаний при периодическом изменении параметров тех элементов колебательной системы, в которых сосредоточивается энергия колебаний. Как следует из определения, здесь внешнее воздействие непостоянно, но осуществляется косвенным образом. В этом случае для изменения параметров системы внешним силам необходимо совершить положительную работу, что может привести к увеличению энергии, запасенной в колебательной системе, а значит, и амплитуды колебаний. Для случая параметрического резонанса дифференциальное уравнение, к которому можно свести основные соотношения, описывающие происходящие процессы, становятся существенно сложнее, т. к. теперь их коэффициенты уже не остаются постоянными (из-за периодического изменения параметров). Поэтому такие уравнения также относятся к нелинейным и, в частности, для них становится несправедливым принцип суперпозиции.

Сначала рассмотрим электромагнитные колебания. Пусть в идеальном колебательном контуре (см. рисунок 5) уже происходят какие-то колебания. В тот момент, когда модуль заряда на обкладке достигнет максимума (момент t₁ на нижней кривой рисунка 30), резко (скачком) уменьшим емкость конденсатора на величину DC. В этот момент ток в катушке отсутствует, поэтому вся энергия системы сосредоточена в конденсаторе и равна (до скачка)

. (130)

Рисунок 30 – Диаграммы параметрического резонанса в колебательном контуре

Так как заряд на обкладке не может измениться скачком (это привело бы к огромному изменению силы тока и, как следствие, к очень большой электродвижущей силе в катушке, несопоставимой с напряжением на конденсаторе, т. е. к нарушению правил Кирхгофа), то энергия также изменится скачком (возрастет) и станет равной

. (131)

Дальнейшая разрядка конденсатора (от заряда q_m до нуля) будет происходить в контуре с уменьшенной емкостью, поэтому соответствующая четверть периода будет меньше, чем для зарядки: t₂ – t₁ < t₁. В результате, когда вся энергия будет сосредоточена в катушке (момент t₂), модуль силы тока окажется больше, чем для момента t₁, что и соответствует увеличившейся энергии, запасенной в контуре. В этот момент снова скачком увеличим емкость конденсатора на DC, вернув ее к первоначальному значению. Так как в этот момент в конденсаторе энергия отсутствует, то в результате этого скачка энергия контура не изменится. Соответствующее изменение энергии конденсатора W_эл показано на средней кривой рисунка 30. Подобные действия можно повторять каждые полпериода, постоянно увеличивая энергию контура. Проведем оценки для условия DC << C. Из формул (130), (131) следует, что за одну половину периода энергия повышается на величину

. (132)

Здесь q_m и W₁ – амплитуда заряда и энергия контура перед очередной половиной периода, DW – увеличение энергии за половину периода. В результате в течение многочисленных изменений емкости энергия должна увеличиваться по закону, близкому к экспоненциальному.

В принципе нет необходимости повторять действия каждую половину периода. Для идеальной системы (без потерь энергии) можно все повторять и с большим периодом. Главное, чтобы при этом имела место так называемая накачка – изменение параметров колебательной системы, сопровождающееся положительной работой внешних сил. Действительно, уменьшение емкости заряженного конденсатора (раздвижение его обкладок) требует совершения положительной работы внешних сил, а увеличение емкости незаряженного не требует совершения работы. Нетрудно заметить, что период накачки T_н должен быть связан с периодом самих колебаний T соотношением

. (133)

Равенство (133) является принципиально приближенным. Оказывается, увеличение энергии будет происходить и в случае, когда период накачки немного отличается от значений, определяемых по строгому равенству (133) в ту или другую сторону (колебательная система, как бы сама подстраивается под условия накачки). Однако при наличии затухания увеличения энергии может и не происходить. Во-первых, потери энергии за время, равное периоду накачки T_н, должно быть меньше, чем ее увеличение по формуле (132), что ограничивает величину параметра n. Во-вторых, при неточном соблюдении равенства (133) увеличение энергии оказывается меньше, чем дает формула (132).

Из всего вышеизложенного, а также из формулы (132), следует важный вывод, имеющий общий характер: увеличение энергии при параметрическом резонансе возможно только, если в системе уже происходят какие-нибудь колебания, пусть и относительно малой амплитуды. Кроме того, увеличение энергии за каждый период накачки растет с ростом амплитуды самих колебаний.

Начальные колебания в системе могут возбуждаться каким-либо случайным внешним воздействием (например, вибрацией в случае механической системы) и быть практически незаметными. В этом случае происходит так называемое параметрическое возбуждение колебаний, когда параметрический резонанс возникает из кажущегося состояния покоя.

Теперь рассмотрим параметрический резонанс для математического маятника. Будем периодически изменять его длину следующим образом. В крайнем положении скачком увеличивать ее на Dl, а в среднем – снова скачком укорачивать на ту же самую величину. Рассчитаем работу внешней силы (здесь – силы натяжения нити) для этих двух действий.

В крайнем положении маятника скорость тела равна нулю, поэтому отсутствует нормальное ускорение (проекция ускорения на направление к точке подвеса равно нулю). Запишем второй закон Ньютона для тела и спроектируем все его члены на это направление. Так как на тело действуют две силы: – сила тяжести и – сила натяжения (крайнее положение на рисунке 31, а), то итоговое уравнение будет иметь вид

,

где m – масса тела; a – угол крайнего отклонения. Отсюда найдем модуль силы натяжения в этом положении:

Рисунок 31 – Силы, действующие на математический маятник в крайнем и среднем его положениях

.

Так как перемещение в этом положении противоположно направлению силы, то ее работа отрицательна и равна

. (134)

Для среднего положения маятника ускорение тела является центростремительным и направлено вертикально вверх (см. рисунок 31, б). Запишем второй закон Ньютона и спроектируем все его члены на это направление:

.

Перемещение в этом положении направлено в ту же сторону, что и сила натяжения, поэтому ее работа будет положительна:

. (135)

Из уравнений (134) и (135) следует, что суммарная работа силы натяжения за половину период равна

. (136)

С помощью закона сохранения механической энергии для крайнего и среднего положений преобразуем слагаемые в правой части (136):

. (137)

Учтем, кроме этого, что суммарная работа силы натяжения за половину периода равна увеличению энергии колебаний за это же время (DW = A). Также выразим все через полную энергию колебаний, которую найдем как кинетическую энергию в среднем положении . Отсюда, а также из зависимостей (136) и (137) получим

. (138)

Анализ выражения (138) позволяет подтвердить для механического случая основные выводы, которые были сделаны на базе соотношения (132) для электромагнитного случая. Также в силе остаются и все закономерности, касающиеся равенства (133) и потерь энергии при параметрическом резонансе.

Нелинейность колебательной системы может быть также связана с явлением зависимости отдельных ее параметров от амплитуды колебаний. Например, если в катушку индуктивности колебательного контура вставлен ферромагнитный сердечник, то намагниченность его вещества, а с ним и индуктивность катушки меняется с изменением силы тока, текущего через неё. Период колебания в таком колебательном контуре зависит от амплитуды, поэтому резонансная кривая приобретает наклон, а при больших амплитудах может стать неоднозначной. В последнем случае имеют место скачки амплитуды при плавном изменении частоты W внешней ЭДС (на рисунке 32: при увеличении частоты амплитуда резко падает от А₁ до А₂, а при уменьшении – возрастает от А₂ до А₁).

Рисунок 32 – Неоднозначная зависимость амплитуды нелинейных колебаний от частоты

Все рассмотренные выше примеры позволяют с энергетической точки зрения разделить все колебания на консервативные системы, в которых нет потерь энергии или, вернее, которые можно с достаточной точностью считать лишёнными таких потерь (механические системы без трения и без излучения упругих волн; электромагнитные системы без сопротивления и без излучения электромагнитных волн); диссипативные системы, в которых первоначально сообщённая энергия не остаётся в процессе колебаний постоянной, а расходуется на работу, в результате чего колебания затухают; автоколебательные системы, в которых происходят не только потери энергии, но и пополнение их за счёт имеющихся в системах постоянных источников энергии.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1 Общие положения и определения..................................................................................... 3

2 Уравнения гармонических колебаний.............................................................................. 5

3 Маятники............................................................................................................................ 7

4 Электрический колебательный контур.......................................................................... 11

5 Начальные условия.......................................................................................................... 12

6 Энергия колебаний........................................................................................................... 13

7 Метод векторных диаграмм.......................................................................................... . 16

8 Биения............................................................................................................................... 17

9 Затухающие колебания.................................................................................................... 20

10 Вынужденные колебания............................................................................................... 27

11 Резонанс.......................................................................................................................... 33

12 Резонанс токов................................................................................................................ 44

13 Линейные и нелинейные системы.................................................................................. 49

14 Автоколебания............................................................................................................... 50

15 Параметрический резонанс........................................................................................... 56

Учебное издание

БУЙ Михаил Владимирович

ЗЫКУНОВ Владимир Александрович

Ф И З И К А.

КОЛЕБАНИЯ

Учебно-методическое пособие для студентов

инженерно-технических специальностей

Редактор И. И. Эвентов

Технический редактор В.Н. Кучерова

Подписано в печать 20.06.2014 г. Формат 60х84¹/₁₆.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 3,49. Уч.-изд. л. 2,91. Тираж 1000 экз.

Зак.№ . Изд. № 129.

Издатель и полиграфическое исполнение

Белорусский государственный университет транспорта:

ЛИ № 02330/0552508 от 09.07.2009 г.

Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 2/104 от 01.04.2014

246653, г. Гомель, ул. Кирова, 34.